因为遇见，所以美丽

-----浅谈正方形与一些特殊角的结合的赏析与思考

【摘要】正方形作为一种简单而优美的图形，既反映了特殊四边形的所有性质，又能与图形变换等重要的几何方法有机地融为一体。数学中，一些特殊角度的出现，例如大家熟悉的30°、45°、60°、90°、120°、150°等等特殊的角，在数学题目中往往体现出它们特殊的魅力和效果。两个特殊的图形的遇见，必然会产生美妙的结果，意想不到的效果。

【关键词】特殊性质  特殊角度

在数学中，正方形是特殊的四边形，每条边相等，且每个角也相等，都是90°。在生活中，正方形的应用也是随处可见，桌椅板凳，墙屋窗户，饰品工具等等，老少皆知。应用的广泛，说明它图形优美、方正端庄，有着其他图形没有的魅力。正方形作为一种简单而优美的图形，既反映了特殊四边形的所有性质，又能与图形变换等重要的几何方法有机地融为一体。数学中，一些特殊角度的出现，例如大家熟悉的30°、45°、60°、90°、120°、150°等等特殊的角，在数学题目中往往体现出它们特殊的魅力和效果。在数学教学中，我们也接触了很多正方形与特殊角相互结合的题目，尤其在近年来的数学竞赛和中考中，变化多端，格调清新，构思巧妙，较好地考察了学生的基础知识、学习能力和思维水平。在这里，我准备谈谈正方形与一些特殊角结合的问题。两个特殊的图形的遇见，必然会产生美妙的结果，意想不到的效果。

一、正方形与90°角的结合

这种情况虽然是大家常见到的，却最能反映出正方形的特殊性。在这里，我举一例：

如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，且BE=CF，

连接CE、DF，且相交于点G。求证：CE=DF，且∠DGE=90°．

证明过程比较明了，这里不多说了。题目反映了正方形的四边相等、四个角都是直角的性质，而且体现了正方形的旋转的性质，△BCE可以绕正方形ABCD的中心逆时针旋转90°得到△DCF。正方形中证线段相等、证角相等常常利用三角形全等来证，而正方形的性质常为证全等提供方便。

二、正方形与45°角的结合

1．正方形自身图形产生的特殊角

如图2，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，图中所有的锐角都是45°，这些结论是简单明了的，这里不用作过多解释。

2．正方形与45°角结合产生的特殊性

例如，如图3，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD上一点，且∠ECF=45°．则EF、BE、DF之间有何数量关系？请说明理由．
　  初看，我们似乎很难找到结论，E、F都是动点，那么EF、BE、DF三条线段的长度也不确定。我们看两个特殊的条件：正方形ABCD和∠ECF=45°。那么我们知道：∠BCE+∠DCF=45°。作辅助线：延长AD，使DG=BE，连接CG。（如图4）（辅助线作法不止一种）易证△BCE≌△DCG，△ECF≌△GCF，

所以BE=DG，EF=FG，所以EF=BE+DF，结论成立。

3．正方形与外加条件产生的45°角

看这样一个问题：

如图5，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、AD上，若△AEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，求∠ECF的度数。

这道题目实际上是把上题的条件和结论互换，由线段之间的关系，来得到特殊的角度。

解题中，要认真分析题目的条件和结论，根据有关信息和图形的结构特点，合理选择正方形的性质，从而发现解决问题的突破口，结合图形变换的方法。由此，我们不得不佩服数学的魅力是如此的强大！

4.正方形与外加条件产生的与45°相关的角

如图6，P为正方形ABCD内一点，若PA=1，PB=2，PC=3．
（1）求∠APB的度数；
（2）求正方形ABCD的面积．

对于刚刚接触这样的题目的学生，是一筹莫展，条件不知如何用。在有关正方形的题目中，我们经常运用旋转的方法，在上图中，我们也可把△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCG的方法来证明。这题中，因为在正方形ABCD中，AB=BC、∠ABC=90°，所以把△PAB绕点B顺时针旋转90°得到△P＇BC，连接PP＇（如图7）。易得P＇C=PA=1，BP＇=BP=2，∠PBP＇=90°，所以∠BPP＇=45°，PP＇=。又因为在△PP＇C中，PC=3，所以，所以∠PP＇C=90°，所以∠BP＇C=135°，所以∠APB=135°，结论成立。从而可证得，∠APB+∠BPP＇=180°，即点A、P、P＇在一直线上。

连接AC（如图8），则，则正方形ABCD的面积为．

这题中，也看到勾股定理的巧妙运用。

三、正方形与30°角的结合

1.正方形与外加条件产生的30°角

如图9，四边形ABCD是正方形，BG∥AC，CE=CA，交BG于点E，CE交AB于点F。

在这个图中，可以证得∠ACE=30°，而且∠EAF、∠BEC都是30度。简直是神来之笔啊！还可以证得AE=AF。条件之简单，设计之精巧，结论之奇妙，不得不为这题点赞！

这题解决的方法简单表述如下：

过点C作CH⊥BG，垂足为H（如图10）。由题目条件可得，BC=CH，EC=AC=BC，所以EC=2CH，所以∠CEH=30°，从而∠ACE=30°．

下面一题在初中数学竞赛中也经常看到，与上面一题类似：

如图11，在正方形ABCD中，E为CF上一点，且四边形BEFD是菱形，求∠DBE的度数。

题目条件演变成两个特殊四边形相结合的问题，实质是两个图形的性质的特殊性，解题方法与上题类似。

2. 正方形与30°角结合产生的特殊性

其实把上述题目“如图9，四边形ABCD是正方形，BG∥AC，CE=CA，交BG于点E，CE交AB于点F，证明∠ACE=30°”改成“如图9，四边形ABCD是正方形，BG∥AC，∠ACE=30°，交BG于点E，CE交AB于点F”，可以证明CE=CA（或AE=AF），证明方法与上述类似。

四、正方形与60°角的结合

正方形是特殊的四边形，60°的角又与等边三角形相关联，所以两者的相遇，又会产生怎样的奇妙结果呢？

如图12，四边形ABCD是正方形，以AB为边向正方形ABCD外作等边△ABE，CE与BD相交于点F。求∠AFD的度数。

显然∠CBD=45°，∠BCE=15°，所以∠CFD=60°。

利用正方形的轴对称性，所以∠AFD=60°．

当然，图中其余的角度都可求出。

五、正方形与特殊条件产生一些特殊角

我们从上面的一些例题中可以看到，一个题目中，其实并不是单一地出现一种特殊角，往往多个特殊的角共同出现在一个题目中，相辅相成。例如，下面的一些题目。

1.已知点P是正方形ABCD所在平面内的一点，使△PAB、△PBC、△PCD、△PAD都是等腰三角形，这样的点P有几个，请画图说明。

显然，这个问题需要分类讨论。

（1）如图13，点P是正方形ABCD的中心，以P为顶点的角（小于平角的角）均为90°；

（2）若PA=PD≠PC=PB=AB=BC=CD=DA，

如图14所示，∠APD=150°，∠ABP=∠DCP=30°，∠DAP=∠ADP=15°，∠BAP=∠BPA=∠CDP=∠CPD=75°，∠BPC=∠PBC=∠CBP=60°,．

在正方形ABCD内，类似的点P还有三个，这里，不再一一表述。

（3）若PA=PD=AB=BC=CD=DA≠PC=PB，

如图15所示，∠APD=∠DAP=∠ADP= 60°，∠ABP=∠APB=∠DCP∠DPC=15°，∠BPC=30°，∠PBC=∠PCB=75°．

在正方形ABCD外，类似的点P还有三个，这里，不再一一表述。

所以，满足条件的点P共有9个。由此，我们也看到，点在不同的位置，产生了不一样的角度。

2.折叠正方形纸片出现的特殊角

由于正方形的特殊性，在折纸过程中，图形中经常出现一些特殊的角。例如下面这个例题：如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点，∠A沿DH折叠，使点A落在EF上的点G处，连接CG。则∠CGD、∠AHD分别是多少度？

这个折纸的方法，也是我们经常利用正方形（或矩形）折等边三角形的方法。利用正方形的特殊性质和折叠的对称性，显然，∠CGD=60°，∠AHD=75°，其余的角度也是显然的。

3.不是上述的特殊角与角之间的特殊的数量关系

在一些有关正方形的题目中，如果线段之间有某种特殊关系，那么有些角不是上述的特殊角，但角与角之间有特殊的数量关系，值得我们关注，值得我们青睐，有些题目堪称经典。

如图17，四边形ABCD、CDEF、EFGH均为正方形，连接BD、BE、BH，则∠1+∠2+∠3=90°。显然，∠3=45°，所以∠1+∠2=45°。虽然∠1、∠2是不可度量的特殊角，但它们的和是特殊的45°。我们可证△BDE∽△HBD，得到∠1=∠DBE，从而结论成立。

我们再看一例：

如图18，E是正方形ABCD的边AD的中点，点F是DE的中点，求证：∠CBF=2∠ABE。显然，∠CBF、∠ABE都不是上述的特殊角，题目条件也很简单，但由于条件是在正方形中，所以产生了不可思议的结论！

解题的思路如下：作∠CBF的平分线，交AD的延长线于点G、交CD于点H（如图19），易得∠1=∠2=∠G，所以BF=GF。设正方形的边长为4k，则AF=3k，由勾股定理得BF=5k，所以GF=5k，所以DG=4k，这样可证得H为CD的中点，从而△ABE≌△CBH，所以∠ABE=∠2，所以结论∠CBF=2∠ABE成立。

  以上是我对正方形和一些特殊角的结合的一点赏析和探索， 还有很多的不足之处，希望在今后的教学研究中不断修正。数学研究永无止境，题目总是千变万化，但只要我们认真研究，仔细研读，合理分析，久而久之，我们一定会让自己和学生的能力有质的飞跃。