机缘巧合出奇思，图形变换有妙想

                ————浅谈图形的剪拼魅力

常州市武进区湖塘桥初级中学    杨琴   手机号:13861245567

【摘要】动手操作是锻炼数学思维的一种很好而有效的方法，而图形的剪拼比较有趣又不乏锻炼数学思维。将深奥的理论生活化，把抽象的知识具体化，使数学与实践相结合，从而对数学产生熟悉感，有利于学生对数学知识的理解和应用，培养他们对数学的观察能力，加强对学生的直观演示和动手操作活动，这不仅有助于激发学生的学习兴趣，使学生建立正确而清晰的概念，而且有助于学生思维能力的发展。

【关键词】数学思维  图形剪拼

在现实生活中，无论是牙牙学语的小孩，还是白发苍苍的老人；无论是在田间劳作的农民，还是指挥发射卫星的科学家；无论是住宅还是雕塑……无论是有意还是无意，可以说，每个人的成长和生活，都未曾离开过数学。生活处处彰显数学美，数学魅力迷人几千年。然而对于中小学生来讲，要切实让他们感受到数学的魅力，体验数学的乐趣，就应结合他们的生活，让孩子们感受到生活中有数学，数学就在身边，高深莫测的数学不陌生。在新颁布的《国家新课程标准》中也十分强调数学与现实生活的联系，教学上明确要求增加了“使学生感受数学与现实生活的联系”，要求选材也应密切联系学生生活实际，且“数学教学必须从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事件出发，为他们提供观察和操作的机会”,让生活走进数学课堂，体验到数学的魅力所在。我们可以将深奥的理论生活化，把抽象的知识具体化，使数学与实践相结合，从而对数学产生熟悉感，也有利于学生对数学知识的理解和应用。而对数学知识的理解和应用，离不开数学思维的形成和训练。数学思维特点是以具体形象思维为主要思维形式，逐步向抽象思维过渡，同时伴有一定的直观动作思维。数学知识的一个显著特点是严密的抽象性，这就要求我们在数学教学中，需要加强对学生的直观演示和动手操作活动，这不仅有助于激发学生的学习兴趣，使学生建立正确而清晰的概念，而且有助于学生思维能力的发展。

动手操作是锻炼数学思维的一种很好而有效的方法，而图形的剪拼比较有趣又不乏锻炼数学思维，很多幼儿园的小朋友都会剪拼各种花卉、飞禽走兽，而众所周知的勾股定理就是中国古代数学家用剪拼的方法研究出来的。

刘徽在证明勾股定理时用以形证数的方法，分合移补．刘徽的证明原也有一幅图，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂．开方除之，即弦也．”后人根据这段文字补了一张图。

图1

只要把图中朱方的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（边长为c）．由此便可证得 

这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的。在魏景元四年（即公元 263 年），刘徽为古籍《九章算术》作注释。在注释中，他画了一幅像图1中的图形来证明勾股定理。由於他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分，又以「青入」、「朱入」解释如何将以斜边为边长的正方形的空白部分填满，所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」。亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理。

像这样，将一个或多个图形先分割开、再拼成一种特定的图形，叫做图形的剪拼。分割后的图形的块数尽可能少，剪拼后的图形没有空隙、没有重叠，剪拼前后的图形面积不变，所以一定是相等的边与相等的边重合拼在一起。在这个过程中，要结合剪拼前后图形所提供的特点来思考，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，最后确定剪拼的方法。

在众多图形剪拼中，出现了很多奇思妙想，出现了让人不可思议的想法，真是叹为观止！剪拼的类型中，我选取以下这样几种有趣的类型：

1. 把非平行四边形图形剪拼成平行四边形：

   在这种剪拼中，经常利用图形的边的中点、三角形的中位线，通过图形的平移、旋转变换，如果用到翻折，则有时要考虑到具体的实物两面图案的不一样。

例如：把任意一个三角形剪拼成一个平行四边形。

如图2，D、E分别是AB、AC的中点，沿中位线DE剪成两块，△ADE绕点D旋转180°，就拼成如图的平行四边形。

图2

再如：把一个任意凸四边形剪拼成一个平行四边形。

方法一:E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，连接EG、FH，相交于点O，把四边形ABCD分割成四块，按如图3-1方式剪拼：

图3-1                                图3-2

方法二: 如图3-2,E、F、G分别是AB、CD、DA的中点，连接EG，过点F作EG的平行线交BC于点T，过点A作BC的平行线交EG于点P，沿图中虚线剪开，按图中方法所拼得的四边形MNST就是平行四边形。

显然，方法二没有方法一简便，但容易想到，因为容易想到三角形中位线的性质。

1.  把三角形剪拼成矩形：

利用三角形的中位线和高，可以把三角形剪拼成矩形，直角三角形、锐角三角形的剪拼情况，如图4-1、图4-2：

图4-1                   图4-2                  图4-3

如果是钝角三角形，一种方法与图4-2一样，还有一种方法如图4-3．

1. 把非正方形的图形剪拼成正方形：

   这种剪拼出现得比较多，上述勾股定理的拼图就是一种。这种剪拼正方形的关键是计算正方形的边长。

   我分为以下几种情况：

   1.比较常见的一种是把十字型的五个小正方形剪拼成一个大正方形．

   如图5-1，通过计算，得到大正方形的边长应该是小正方形边长的倍，故按如图5-2的剪拼方法，连接AB两点，过点B作CD垂直AB（C、D也是小正方形边的中点），剪成四块，通过平移的方法，拼成一个大正方形。

                     

   图5-1                图5-2                  图5-3

   2.如果有两个边长不等的正方形，如何剪拼成一个大正方形？

   如图5-3，根据勾股定理，显然AB为大正方形的边长，与上述剪拼方法类似，就不重复了。

   3.接下来，我们看一个有趣的问题：如图5-4，如何把一个正方形和一个等腰直角三角形（面积小于正方形面积）剪拼成一个大正方形？

         

   图5-4                 图5-5          图5-6

   我们按图5-5的剪拼方法，AH是EG的一半，沿BH、FH分割成五块，然后可以拼成一个以BH为边长的大正方形。

   如果等腰直角三角形的面积等于正方形的面积，该如何剪拼呢？其实，这个很容易。通过计算，不难得到等腰直角三角形的直角边是正方形边长的倍，剪拼成的大正方形的边长就是等腰直角三角形的直角边长，按图5-6剪拼，只要把小正方形沿对角线剪成两块。

   如果等腰直角三角形的面积大于正方形的面积，该如何剪拼呢？方法与前面类似，如图5-7，点H在AD的延长线上，要分割成六块。

    

   图5-7           图6-1                 图6-2

    

   4.如何把一个矩形（非正方形）剪拼成一个正方形？

   首先计算拼成后的正方形的边长，如图6-1，设矩形ABCD的AB=a，AD=b，则拼成的正方形的边长为。如何作出这个长度呢？

   延长AD至E，使DE=AB，作以AE为直径的圆，交CD的延长线于点F，则DF等于，以B为圆心、DF为半径作圆弧，交AD于点G，过点C作CH垂直BG,垂足是H,通过计算可知CH=。所以沿BG、CH把矩形ABCD分割成三块，平移△ABG到DCN、△BCH到GNM，就拼成了正方形CHMN。2011年,天津市把它作为了一个数学中考题。

   若过点C作CH垂直BG,垂足H在BG的延长线上，则按图6-2中沿BG、CI、JK（其中BJ=GI）把矩形ABCD分割成四块，

   若过点J作JK垂直BG,垂足K在BG的延长线上，则按图6-3中沿BG、CI、JP、QT（其中BJ=GI、BQ=GP）把矩形ABCD分割成五块。如果T在BG的延长线上，按上述方法，以此类推。

    

    

   图6-3

   5.如何把一个等边三角形剪拼成正方形？

   这是一个有趣又值得思考的问题，如图7-1，设△ABC的边长为，那么它的面积为，则剪拼成的正方形的边长应该是的算术平方根，怎样才能找到这个值呢？这比较难。

              

   图7-1                         图7-2

   据说，这个剪拼难题是亨利·杜德尼在1902年发现的，方法如图7-2，分割的方法是这样的；根据图7-2，取AB的中点D，取AC的中点E；延长直线BE至F，使EF等于EA；取BF的中点G，以G为圆心作弧BHF；延长EA交弧BHF于H，EH就是所求正方形的边长；以E为圆心，EH为半径，作弧，交BC于点M，再使MN等于AE；由D、N两点分别作EM的垂线，垂足分别是P、Q。沿EM、DP、NQ分割成四块，可以用这四块拼成一个正方形。需要注意的是，点M和点N并不位于点D和点E的正下方。

   这个发现简直是神来之笔，不可思议！让人惊叹！

   算一算，剪一剪，拼一拼，转动慧眼，开启大脑，数学世界精彩无限！一个普通的图形，几条不起眼的直线，在数学的探求领域中飞舞！

   以上是我对剪拼图形中的一点浅显的认识，剪拼图形还有其他的一些有趣图形，例如不沿直线剪拼，沿折线剪拼。我还要继续努力探索，数学的这种魅力让我欲罢不能，我希望能带领我的学生一起来探求，培养他们对数学的兴趣，锻炼他们的思维能力。

   【参考文献】《亨利·杜德尼的几何趣题》【英】亨利·杜德尼周水涛译   上海科技教育出版社