专题一：与圆有关的最值问题

知识回顾：

1.⊙O的半径为2，点A为圆上动点，平面内有一点B.

（1）当OB=1，线段AB的最大值为             ，最小值为           .

（2）当OB=3,线段AB的最大值为              ，最小值为           .

2.⊙O的半径为5，⊙O内有一点A，OA=3，过点A做圆的一条弦CD.则CD的最大值为         ，最小值为           .

1. ⊙O的半径为2，直线L与圆相离，圆心到直线L的距离为3，点A为⊙O上一动点，则点A到直线L的最大距离为        ，最小距离为             .

   一、类型一

   1.如图,正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动。如果点Q从点A出发,沿A?B的方向滑动到B止,同时点R从点B出发,沿B?C的所示方向滑动到C止,在这个过程中,连接点D与线段QR的中点M，则DM的最小值为        ．

    

2. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4 ，AD＝6，E 是AB 边的中点， F 是线段 BC 上的动点，将△ EBF 沿 EF 所在直线折叠得到△EB'F ，连接 B'D，则 B'D 的最小值是           ．

    

3.如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是           ．

二、类型二

1. 如图 ,E是正方形ABCD的边AD上的动点 ,连接BE,作AH⊥BE于点H.若正方形的边长为4,则线段DH长度的最小值是           ．

    

   2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为               ．

    

    

2. 如图,平面直角坐标系中，A（-4,0），B（0,4），C（2,0），点D是线段BC上的动点，过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,连接EF、AD,求线段EF的最小值             .

    

    

   三、其他类型

1.如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是　　      ．

1. 如图，已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是           .

    

   3.如图,在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为A（3，0）、C（0，4），点B的坐标为（-7，0），点P是直线AC上的一动点，以点P为圆心、2为半径画圆，过点B作动圆P的两条切线，切点分别为点E、F．求四边形BEPF面积的最小值             .

    

    

   课后练习

   1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B'CP，连接B'A，则B'A长度的最小值是          ．

    

    

   2．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙O上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值为       ．

    

    

   3．在半径为7的圆O中，AC为其直径，点B是圆上的定点，∠ACB=30°，点A′在上运动（不与A，C重合），C′B⊥A′B交A′C的延长线于点C′，则BC′最大值为             ．

    

    

   4．如图，⊙O的半径为6，AB是⊙O的弦，将线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段CA，当点A固定，点B在圆上运动时，则线段OC长度的最小值为　   　．

    

    5、如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．

   （1）使∠APB＝30°的点P有_________ 个；

   （2）若点P在y轴上，且∠APB是否存在最大值？若有，求满足条件的点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．

   （3）当点P在直线y=1移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，若没有，请说明理由．